与圆有关的两条线段平方差等于两条线段相乘的证明
两条线段平方差等于两条线段相乘的形式即为a²-b²=cd或a²=b²+cd，下面就与圆有关的两条线段平方差等于两条线段相乘的证明题解法举例说明如下。
题目1：如图，PCD、PAB是圆O的割线，PQ切圆O于Q，且∠CAP=∠DAB。求证：PQ²-PA²= AC·AD。
解题思路：根据圆相关知识，首先找到PQ²或PA²的代数表达式，再根据线段关系进行简单变形，可望得到解题线索（逆推法）。
根据切割线定理得：
PQ²=PA·PB
= PA·（PA+AB）
= PA²+PA·AB
PQ²-PA²=PA·AB。
题目要求证PQ²-PA²= AC·AD，我们只要证明PA·AB= AC·AD就能如愿以偿了。
这显然是线段的比例相等，结合已知∠CAP=∠DAB，找到包含这四条线段的两个三角形，证明其相似。
如图2，连接CB，△PAD∽△CAB，
PA/AC=AD/AB,
PA·AB= AC·AD,
PQ²-PA²= AC·AD成立。
题目2：如图1，A、B、C三点均在圆上，∠ABC的角平分线交圆于M。求证：MB ²- MA ² =AB·BC。
解题思路1：在证明圆内接三角形或四边形有关线段平方、积的和差关系时，利用相似三角形的相似比求解是常用的方法。图2中先连接AM、AC，根据已知条件和圆相关知识标出圆中相等的角，再根据欲证明的等式中的线段对号入座，很容易寻找到相应的相似三角形。
1.△AMN∽△BMA，得到：
MA ²=MN·MB（共角共边，母子相似三角形）。
2.△ABM∽△NBC，则
AB/BN=MB/BC,
AB·BC= BN·MB
=（MB-MN）·MB
= MB ²-MN·MB
= MB ²- MA ²。
MB ²- MA ² =AB·BC成立。
解题思路2：根据MB ²- MA ²形式结合BM为角ABC的角平分线，连接MA、MC后过M点作BA、BC（或延长线）垂线MN、MD（图3），得到：
- △MNA≌△MDC（等角对等弦，角平分线定理）
NA=CD；BN=BD。
2.MB ²- MA ²=BN ²-NA ²（MN²=BM²-BN ²=MA²- NA²或勾股定理叠加型或背靠背模型）详见四条线段平方的和差关系的证明。
MB ²- MA ²=BN ²-NA ²
=（BN +NA）（BN -NA）
=AB（BD -CD）
=AB•BC。
MB ²- MA ² =AB·BC成立。
题目3：如图1，圆O1 和圆O2相交于A、B两点，过A点作圆O2的切线交圆O1于C，延长CB交圆O2于D，连接并延长DA交圆O1于E。求证：CD ²-CE ²=DA •DE。
解题思路：两圆相交，先连接公共弦AB，再连接EC，根据弦切角定理及圆内接四边形外角等于内对角性质标出相等的角（见图2），可见：
- CA=CE；
- △ABD∽△CED，DA/CD=BD/DE,
DA •DE= CD • BD（得到了DA •DE的表达式）
= CD （CD-CB）
= CD ²- CD •CB（得到了 CD ²）。
根据切割线定理：CA²= CD •CB，
DA •DE= CD ²- CD •CB
= CD ²-CA²
=CD ²-CE ²，
CD ²-CE ²=DA •DE成立。
总结：证明与圆有关的两条线段平方差等于两条线段相乘时，充分利用已知条件，结合圆相关性质定理，找到包含欲证明线段的相似三角形，应用逆推法，能快速得到解题思路。